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CHAPITRE VII. 



On verra, dans l'Ouvrage d'Halphen, comment on peut calculer 

 T, ainsi que la fonction rationnelle dont le logarithme a pour dé- 



rivée -^— ^^ — lorsque L est donnée. Un des points (c, d)^ (c^, d!) 



peut être pris arbitrairement; si l'on a pris pour (c', d!) un point 

 de ramification, d =z o, et l'expression de T se simplifie 



z — c 



166. Lorsque l'intégrale abélienne y R(^, u)dz est égale à une 



fonction rationnelle de z et de u^ <ï>(^, u)^ ou au logarithme d'une 

 fonction rationnelle A log<ï>(5, u) ^ le changement de variable 



^{z^u)^=t ramène l'intégrale proposée à la forme Ç dt^ ou 

 / -y-* vJn peut se poser une question plus générale : 



Étant donnée une intégrale abélienne j \\{z, u) dz^ rela- 



iwe à une courbe de genre /?, dans quels cas existe-t-il une 

 substitution algébrique qui change cette intégrale en une 

 nouvelle intégrale abélienne relative à une courbe de genre 

 p' ^ inférieur à p? 



La solution de ce problème général paraît difficile. Nous mon- 

 trerons seulement, par un exemple simple, comment la question 

 est liée à la réduction du nombre des périodes. Considérons une 

 courbe de genre/?, supérieur à un, et une intégrale de première 

 espèce 



w = o(z, u) dz 



attachée à cette courbe : si les 2p périodes de cette intégrale 

 se ramènent à deux périodes distinctes, on peut ramener cette 

 intégrale à une intégrale elliptique par une substitution ra- 

 tionnelle. Soient a)4 et W2 les deux périodes auxquelles se ramè- 

 nent toutes les périodes de w\ la période relative à la coupure ai 

 est égale à m^ù^ + ni^^^ et la période relative à bi est/?,tOi -f- qt Wo, 

 ^i^ ^i^ Pi-, qt étant des nombres entiers. Séparons les parties 



