INTÉGRALES NORMALES. Sôg 



réelles et les coefficients de y/ — i ; soit 



toi = a -h ^ \/~— I 



D'après la formule de Riemann, la somme 



p 



2 [(m/a -f- /ir;) (/?/? + ^/5 ) — (m,- ? ^ /i/o) (/?/a -^ qr()] 



i=\ 



P 



= (ao — ?y)^ ( m/^',- — «//?0 



/=: 1 



est essentiellement positive. On ne peut donc avoir tZ — ^v = o, 



c'est-à-dire que le rapport — est nécessairement imaginaire ; le 



même raisonnement prouve d'ailleurs que les ip périodes de w ne 

 peuvent se réduire à une seule. Soit a((v) une fonction doublement 

 périodique de w^ avec les deux périodes to,, Wo, admettant deux 

 pôles simples dans un parallélogramme élémentaire (^ ); cette 

 fonction satisfait à une équation différentielle de la forme 



(37) (^M'=AX'+BX3+CX^+DX-E, 



A, B, C, D, E étant des constantes. Imaginons que, dans \[w), 



on remplace w par l'intégrale /'f(^, ii) ciz ; A(tp) devient une 



fonction uniforme du point analytique {z, u), puisque toutes les 

 valeurs de iv en un même point de la surface de Riemann s'ob- 

 tiennent en ajoutante l'une d'elles des multiples entiers de to, et 

 de o)o. Soit A((r) =: 0(3, u); appelons ^ et r, les deux pôles de 

 a((v) dans un parallélogramme élémentaire. La fonction <ï> {z, u) 

 ne peut cesser d'être régulière que pour les points de la surface 

 de Riemann où l'intégrale iv prend une valeur de la forme 

 ç-f- /?ito, 4- /nx).2 ouTj -\-/n'ù)i + n'iô.2j et Ton reconnaît aisément 

 que ces points sont des pôles pour ^{z. a); c'est donc une 



(') Nous supposons connus les éléments de la théorie des fonctions doublement 

 périodiques. 



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