370 CHAPITRE VIT. 



fonction rationnelle de z et de u. Gela posé, de la relation 



X(cv) = ^{z, u), 

 •on déduit, en différentiant par rapport à z, 



,. , . , dw d^ 



en remplaçant V(iv) par sa valeur tirée de la relation (3-), et 



dw 



dz 



dw , \ -1 • * 



-TZ pai- ?(-^ if^)^ il vient 



?(-, u) 



d<P 

 dz 



ou 



(38) 



o(z, u)dz= I -. 



On voit donc qu'en prenant pour nouvelle variable la fonction 

 rationnelle ^(z, u), l'intégrale proposée se change en une inté- 

 grale elliptique de première espèce, comme nous l'avions an- 

 noncé. 



167. Considérons maintenant en particulier le cas où /> = 2, et 

 ijupposons qu'une courbe de genre deux possède une intégrale de 

 première espèce (Vj, ayant seulement deux périodes distinctes to,, 



7??! Wj H- /il W2, ;?l2 Wi + 722 W2, />1 Wi -i- ^1 t02, />2 ^i -h ^2 ^^'^Z 



les périodes de w^ relatives aux coupures «), «25 ^i? ^2- Soit «'2 

 une seconde intégrale de première espèce, distincte de la pre- 

 mière, et A,, A2, B^, B2 ses périodes relatives aux mêmes cou- 

 pures. D'après la relation générale qui lie les périodes de deux 

 intégrales de première espèce (n*' 67), on a 



(mioii -h /^l W2) Bi — Ai(/>iCl)i -i- (/i w,) 



4- (m2a)i4- 7i2W2)B2 — A2(/'2 Wj -+- (72W2) =. o 



ou 



(39) 



( -f- a)2(A«iBi— qi Al -!- 71262— '72A2) = o. 



