INTÉGRALES NORMALES. Sjl 



On peut supposer que les périodes A,, Ao, B,, Bo vérifient la 

 relation 



(4o) miBi — piXi-h niiB-j — /?-2A2 = o; 



en effet, si l'on remplace (Vo par l'intégrale Wo -H K(v,, où K est 

 une constante, les périodes de cette nouvelle intégrale sont 



A', = Ai-j- K(mi wi -h /Il W2), 

 A2 = A2-T- K(m2Wi -i- ^^2^2), 

 B'i = Bi — K {piioi-^ ^iw,), 

 Bj = Bo-T- K (/>2 wi-i- q2(x>-2), 

 et l'on a 



fniB\ — i>i A'i -f- m2B', — /?2 A', = niiBi — /^jAi-H m2B2— y^o Ao 



-^Koii{miqi — riipi-^ fn-iq^— n^Pi). 



Le coefficient de K dans le second membre n'est pas nul, d'après 

 la relation de Riemann rappelée plus haut; on peut donc choisir 

 la constante K de façon que la relation (4o) soit vérifiée pour la 

 seconde intégrale. La formule (89) donne alors 



(40 n^Bi — ^iAi-i-/i2B2— ^2A2= o. 



Les deux nombres /?z, q^ — niP{ et 7722^2 — fiip-2 ne peuvent être 

 nuls en même temps; supposons, par exemple, que /?z, q^ — t^\P\ 

 ne soit pas nul. On tire alors des équations (4o) et (4i) 



_ { p-2q\~Piq-2^-X^i—(p\n-2 — qi mo ) B, 

 '"" fniqi — n^pi 



_ (Pi^i — q2nii)X2-i-(min2 — nt/?î2^B2 

 niiqi — nipi 



On voit que toutes les périodes de la seconde intégrale se ra- 

 mènent à deux périodes distinctes, 



A, , B, 



k 



miqi—nipi ' m^q^— ii^pi 



et Ton peut énoncer le théorème suivant, dû à M. Picard (') : 



(' ) Sur la réduction du nombre des périodes dans les intégrales abéliennes, 

 et, en particulier, dans le cas des courbes du second genre {Bulletin de la 

 Société mathématique, t. XI, p. 25). 



