372 CHAPITRE VII. — INTÉGRALES NORMALES. 



Si une courbe de genre deux possède une intégrale de pre- 

 mière espèce, ayant seulement deux périodes, elle en possède 

 nécessairement une seconde jouissant de la même propriété. 



Voici deux exemples où l'on connaît les deux intégrales de pre- 

 mière espèce qui se ramènent à des intégrales elliptiques. Les 

 deux intégrales de première espèce 



dz r zdz 



J \/z^ -\-az^-^bz'^-\-c'' J s/z^ 



az'*^ bz'^^c 



relatives à la courbe de genre deux, u^ = z^ ^ az'* + bz^-\-c^ se 

 ramènent à des intégrales elliptiques parle même changement de 

 variable ^^= t. 



Les deux intégrales de première espèce 



dz r ^dz 



2Z -t- i 



OÙ l'on a 



r dz r^^ 



J s/{z^-^az-t-b){z^^pz'^-^q)' J\l{z^- 



b){z^ 



q^ \b^-ap, 



se ramènent de même à des intégrales elliptiques, en posant res- 

 pectivement 



_z'^-^az^b z"^-^ pz'^-\- g _ . 



^"^ Zz—p ' azi—Zbz-^ ~ 



On remarquera, sur ces exemples, que le degré de la substitu- 

 tion à faire est le même pour les deux intégrales. C'est là une 

 propriété générale, dont on trouvera la démonstration dans le 

 Mémoire de M. Picard ('). 



(1) Le lecteur, désireux d'approfondir ce sujet, pourra étudier aussi les tra- 

 vaux suivants : 



Kœnigsberger, Journal de Borchardt, t. LXIV; Kowaleski (Sophie) Acta ma- 

 thematica, t. IV, p. 894; Poincaré, 5ar la réduction des intégrales abéliennes 

 {Bulletin de la Société mathématique, t. XII, p. 174); Picard, Remarque sur 

 la réduction {id., p. i53); Goursat, Sur la réduction des intégrales hyperel- 

 liptiques {Bulletin, t. XIII, p. i47)- 



