FONCTIONS UNIFORMES SUR UNE SURFACE DE RIEMANN. SjS 



CHAPITRE VIII. 



FONCTIONS UNIFORMES SUR UNE SURFACE DE RIEMANN (»). 



Expression d'une fonction rationnelle au moyen d'intégrales normales de seconde 

 espèce. — Théorème de Riemann-Roch. — Fonctions spéciales. — Fonctions 

 d'ordre minimum. — Courbes hyperelliptiques. — Relations entre les pôles et 

 les zéros. — Expression générale d'une fonction uniforme avec un nombre fini 

 de points singuliers. 



168. On a déjà fait remarquer, à plusieurs reprises (n°^ 45, loo), 

 qu'une fonction rationnelle R(^, «), où z et u sont liées parla 

 relation algébrique F (z, u) = o^ est égale à une somme d'inté- 

 grales abéliennes de première et de seconde espèce, relatives à 

 cette courbe algébrique. Ce mode de décomposition étant d'une 

 importance capitale, il est nécessaire de l'étudier d'une façon 

 plus approfondie. Pour simplifier les notations, nous supposerons 

 que les pôles (a,, [^,), . . ., (a^t, fi^) sont des points de la surface de 

 Riemann à distance finie et distincts des points de ramification. 



Soit 



' 7^-r-T^-^---+i-2...(v/ — i)t-- — i— . (i = l,1,...,k) 



z — ai (^-a/)2 ' {z — aiy 



la partie principale de la fonction considérée R(^, u) dans le do- 

 maine du pôle (a/, ^/). La difî'érence 



R(^, u)-^[\[^^ Z{z, u: a,, p,) -h. . .+ Al^.^ Zfv.-i^^, «; ^o M 



est une intégrale abélienne régulière en tous les points de la sur- 

 face de Riemann, et dont les périodes relatives aux coupures a/i 



( ') Auteurs à consulter : Riemann, AbeVschen Functionen, § 8; Roch, Journal 

 de Crelle, t. 64; Brill et Nôther, Mathematische Annalen, t. VII; Klein, 

 Théorie der elliptischen Modulfunctionen^ t. I, p. 5^0 et suivantes 



