374 CHAPITRE VIII. 



sont toutes nulles; elle se réduit donc à une constante (n° 118) 



et l'on a 



k 



(i) R(z, w) = G + 2 [AV')Z(U, uioci, p,-) +. ..-^Alf. Z(v.-i)(^, u;ai, p,-)]- 



Telle est la formule fondamentale de décomposition que nous 

 voulions obtenir; elle met en évidence les pôles et les parties prin- 

 cipales de R(5, w). Il est à remarquer que la fonction qui joue le 

 rôle d'élément simple Z(^, u ; Ç, Tj) n'est pas uniforme sur la sur- 

 face de Riemann, 



La formule (i) montre immédiatement que les coefficients 

 Aj'^jA^^ ... ne peuvent pas être pris arbitrairement. Il faut, en 

 effet, que les périodes du second membre de cette formule rela- 

 tives aux coupures bh soient toutes nulles. Or, la période relative 

 à la coupure bk est (n° 146) 



k 

 i = l 



les coefficients A'^^', A^^ ... doivent donc vérifier les /? relations 



(-2) ^ [A'/'cp„(a,, ?,) +. . .+ A<';)cp^-^)(a,-, p,)] = o. 



«=i 



A = I, 2, ...,/>. 



Ces relations sont d'ailleurs suffisantes pour qu'il existe une fonc- 

 tion rationnelle R(«, u) admettant les /: pôles (a^ , p<) . . ., (a^, p^), 

 avec les parties principales données. En effet, le second membre 

 de la formule (i) représente alors une intégrale abélienne dont 

 toutes les périodes sont nulles, c'est-à-dire une fonction ration- 

 nelle de z et de u. 



Remarque. — La somme 



représente le résidu du produit R(^, u)z)/i(z^ u) relatif au pôle 

 (a/, ^i). Lesp relations (2) expriment donc que les sommes des 

 résidus des p fonctions rationnelles 



