FONCTIONS UNIFORMES SUR UNE SURFACE DE RIEMANN. 875 



sont nulles, car tous ces résidus proviennent des pôles de ^{z, u). 

 En résumé, les p relations linéaires que doivent vérifier les 

 coefficients des parties principales de ^{z-^ u) s^ obtiennent en 

 écrivant que la somme des résidus de toute fonction rationnelle 



R(;, u) 'f (^, u)^ oit I cp(^, u)dz est une intégrale quelconque 



de première espèce, est égale à zéro. 



C'est là, au fond, une façon condensée d'écrire les/? relations 

 qui existent entre ces coefficients, qui s'applique aussi, il est 

 aisé de s'en assurer, quelle que soit la position des pôles. 11 est 

 clair, d'ailleurs, que ces relations peuvent toujours être écrites 

 explicitement quand on a obtenu l'expression générale des inté- 

 grales de première espèce (Cf. n° 29). 



169. Nous sommes maintenant conduits à traiter le problème 

 suivant : Former l'expression générale d'une fonction ration- 

 nelle de z et de u, admettant k pôles donnés (a, , j3,), . . . , (ayt, ^a) 

 avec des degrés de multiplicité déterminés, v,, Vo, . . . , v^. 



Les coefficients arbitraires A:^\ A^', . . . , dont dépend la fonc- 

 tion cherchée R(^, u)^ sont au nombre de 



M = V,-h V2-f- . . . -f- VA-. 



Ces coefficients doivent vérifier p relations linéaires et homo- 

 gènes. Si nous supposons ces relations distinctes, le problème 

 n'est possible que si M^yo + i, et la fonction cherchée dépend 

 alors de M — p constantes arbitraires, abstraction faite d'une 

 constante additive. Mais il peut arriver que, pour certaines posi- 

 tions particulières des pôles, les p relations linéaires se réduisent 

 à moins de p relations distinctes. Ce point demande un examen 

 particulier et nous allons nous j arrêter. 



Supposons d'abord qu'on veuille former une fonction ayant un 

 seul pôle arbitraire (a, JB) d'ordre v. Le problème n'est possible 

 que si v est >/?+ i. Le point (a, [^) étant, par hypothèse, un 

 point arbitraire de la surface, on peut le supposer à distance finie 

 et distinct des points de ramification. Soit 



Al A.2 i .2. . . (v — l)Av 



'z^^ ~^ {z — af "^ • • • "^ (5 — a)v 



