376 CHAPITRE Viri. 



la partie principale dans le domaine de ce pôle; les v coefficients 



Ai , Ao, . . ., Av doivent vérifier les p relations 



Ai«pKa. P) + A2o;-(a, p) + ,.. + Avcp'>-i)(a, P) = o (i = i, 2, . . . ,/?). 



Si V est inférieur à/> + i , les équations précédentes n'admettent 

 pas d'autre solution que Ai = A2= . . . = Av= o, à moins que 

 tous les déterminants d'ordre v contenus dans le Tableau 



5 ' • • • ' 1 



ne soient nuls en même temps. On démontre, comme au n'' 154, 

 que ces déterminants ne peuvent être nuls pour un point arbi- 

 traire (a, p) de la surface de Riemann. Par conséqueni, si une 

 fonction rationnelle de z et de u admet un seul pôle sur la surface 

 (ce pôle pouvant être choisi arbitrairement), Tordre v du pôle ne 

 peut être inférieur à /> +1. C'est de cette façon que M. Weierstrass 

 définit le genre d'une relation algébrique (Cf. n° 28). 



Supposons, en second lieu, que l'on veuille obtenir l'expression 

 générale d'une fonction rationnelle de z et de u^ admettant v pôles 

 du premier ordre (ai, j3,), . . ., (av, jiiv). Afin d'éviter les difficultés 

 accessoires, nous supposerons qu'on a effectué, s'il est nécessaire, 

 une transformation birationnelle, de façon que les conditions sui- 

 vantes soient remplies : i" la courbe considérée C, représentée 

 par l'équation 



(3) F(^,^,)=o, 



supposée de degré m, a m points distincts à l'infini, et aucune 

 asymptote n'est parallèle à l'axe des u ; 2° les v points (a< , ^i), . . . , 

 (av, Pv) sont des points simples de cette courbe et, en aucun d'eux, 

 la tangente n'est parallèle à l'axe des u. Toute fonction ration- 

 nelle R(s, u\ infinie du premier ordre en ces v points seulement, 

 est représentée par une somme d'intégrales normales de seconde 

 espèce, 



R(^, i<)= G-T- AiZ(,s, w; ai, Pi) + . . .4- AvZ(^, w; av, ^v)- 

 Soient, d'autre part, Q, (:î, 11)^ ^%{^^ w), . . ., Q^(5, u) lesppolj- 



