FONCTIONS UNIFORMES SUR UNE SURFACE DE RIEMANN. 877 



nomes adjoints distincts de degré m — 3, de façon que l'équation 

 générale des courbes adjointes de degré m — 3 soit 



XiQi(^, w)+ \t^i{z, u) -{-... -^IpQpiz, u)= G. 

 On a les p intégrales distinctes de première espèce, 



et les p relations (2), que doivent vérifier les v coefficients A|, 

 Ao, . . ., Av, peuvent s'écrire 



'^^F^'.Cx^pO 'F«(a2,?2) 'FUav,?v)~ 



si Ton pose A, =:B, F^'^(ai, j^i), . . ., Av= B^F[^(xy, ^v)? ces p re- 

 lations deviennent 



(4) 



/ BiQi(a,,^0--B,Q,(a2, !3,) + -..-{-BvQi(av, pv)=o, 



En général, si les v pôles (a,, j^,), . . ., (av, ^v) sont pris arbitrai- 

 rement sur la courbe, les p équations (4) sont distinctes, ce que 

 l'on voit en reprenant les raisonnements du n° 154. Pour qu'elles 

 admettent un système de solutions autre que B,==B2...= Bv=o, 

 il faut donc, en restant dans le cas général, que v soit au moins 

 égal àjoH-i, et, s'il en est ainsi, v — p des coefficients B/ peu- 

 vent être pris arbitrairement. Il n'existe donc pas de fonction 

 rationnelle admettant moins de p -\- i pôles simples donnés arbi- 

 trairement. 



Approfondissons davantage la question. Il peut se faire que les 

 p équations (4) se réduisent k p — o- équations distinctes, par 

 exemple que les a- dernières équations soient des conséquences 

 des p — (7 premières. Si cette circonstance se présente, tous les 

 déterminants d'ordre/? — 3-4-1 que l'on peut déduire du Tableau 

 rectangulaire 



I Qi(ori,?i)'Qi(a2, ?2) ... Qi(av,Pv) 

 (E) 



' Q/.(«i,Pi) Qp(a2,?2) .. QpC^vmSv) 



