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par la suppression d'un certain nombre de lignes et de colonnes 

 sont nuls, mais l'un au moins des déterminants d'ordre p — a- est 

 différent de zéro. Or ce Tableau (E) se présente dans une autre 

 question. Supposons que l'on \euille obtenir l'équation générale 

 des courbes adjointes d'ordre m — 3 qui passent par les v points 

 donnés, on a à déterminer les p coefficients A,, X^-t - > • i^p au 

 moyen des v équations de condition 



(5) XiQi(«/, h)-^- . .+X;,Qp(a,-, ^0=0 {i = I, 2, . . ., v). 



D'après la théorie des équations linéaires, si le premier déter- 

 minant du Tableau (E) qui n'est pas nul est d'ordre/? — a-, a- des 

 coefficients \i restent arbitraires, ce qu'on exprime encore en di- 

 sant que par les v points (ai, pi), . . . , (av, j^v) il passe o- courbes 

 adjointes de degré m — 3 linéairement indépendantes. En résumé, 

 les p équations (4) se réduisent à p — c- équations distinctes, 

 <y désignant le nombre des courbes adjointes linéairement 

 distinctes d^ ordre m — 3, qui passent par les v points consi- 

 dérés. 



Si V n'est pas supérieur kp — o-, il n'existe pas d'autre solution 

 que B< = B2 = . . . 3= Bv = o ; mais, si v est plus grand que/? — a-, 



V — p H- 0- des coefficients Ai, A2, . . . , Av restent arbitraires et, 

 en comprenant une constante additive, la fonction rationnelle 

 cherchée dépend de v —p + o- + i constantes arbitraires. Nous 

 pouvons donc énoncer le théorème général suivant, qui est connu 

 sous le nom de théorème de Riemann-Roch (' ) : 



Etant donnés v points sur une courbe algébrique, la fonc- 

 tion rationnelle de z et de u la plus générale qui devient infi- 

 nie du premier ordre en cjuelcjues-uns de ces points, et qui 

 reste régulière en tout autre point de la surface, dépend de 



V — p -I- 0- -4- 1 constantes arbitraires, le nombre o- ayant la même 

 signification que plus haut. 



Cet énoncé donne lieu à quelques remarques : 



I. La fonction rationnelle cherchée n'existe que si le nombre 



V — /? + 0- -h I est au moins égal à 2 ; cette fonction n'est pas né- 



(') Riemann n'avait considéré que le cas général où a = 0; c'est Roch {Jour 

 nal de Crelle, t. 64) qui a étudié le cas où a a une valeur quelconque. 



