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FONCTIONS UNIFORMES SUR UNE SURFACE DE RIEMANN. 879 



cessairement infinie du premier ordre en chacun des v points 

 (a,,^,), ..., (av, |3v)5 car il peut se faire que quelcjues-uns des 

 coefficients A,, Ao, . . ., ^v soient nuls, mais il en reste toujours 



V — p -f- 3- d'arbitraires. 



II. Le cas où quelques-uns des pôles sont d'ordre supérieur au 

 premier est à considérer comme cas limite du précédent. Si, par 

 exemple, /' des points (a,, ^,), . , ., (av, ^^i) sont venus se con- 

 fondre en un point (a, ^, la fonction R(-3, li) aura un pôle d'ordre r 

 au plus en ce point; au lieu de considérer les courbes adjointes 

 qui passent par ;• points distincts, il faudra considérer les courbes 

 adjointes ayant un contact d'ordre /' — i avec la courbe proposée 

 au point (a, P). 



170. Une courbe adjointe de degré m — 3 ne rencontre la 

 courbe proposée qu'en ip — i points, en dehors des points mul- 

 tiples. Par conséquent, si v est supérieur à ip — 2, le nombre t 

 est égal à zéro et la fonction R(-:;, u) contient toujours v — p -h i 

 constantes arbitraires, quelle que soit la position des pôles sur la 

 surface de Riemann. Si v est inférieur ou égal à ip — 2, d'autres 

 circonstances peuvent se présenter : 1° supposons d'abord 



jD — 1 < V 1 2/3 — 2 ; 



il ne passe pas, en général, de courbe adjointe de degré m — 3 

 par ces v points, s'ils sont pris arbitrairement sur la courbe (n" 140). 

 Mais, s'il en passe une ou plusieurs, nous dirons que ces points 

 forment un groupe spécial. Il existe toujours de pareils groupes; 

 il suffît, en effet, de considérer une courbe adjointe quelconque 

 de degré m — 3 et de prendre p — i 4- A de ses points d'intersec- 

 tion avec la courbe donnée; 2° soit v^/? — i; par ces v points 

 passe, en général, un faisceau d'ordre p — v — i de courbes ad- 

 jointes de degré m — 3. Mais, pour certaines positions de ces 



V points, il peut se faire que l'ordre du faisceau soit plus élevé, 

 p — V — i + /i par exemple. On dira encore que les v points for- 

 ment un groupe spécial. En résumé, un groupe spécial est carac- 

 térisé par ce fait que la multiplicité des courbes adjointes d'ordre 

 m — 3 qui passent, par les points de ce groupe est d'ordre plus 

 élevé qu'on ne devrait s'y attendre d'après le nombre des points 

 de ce groupe. Il est clair, d'après cela, que v points pris au hasard 



