38o CHAPITRE VIII. 



sur une courbe algébrique (v^ip — 2) ne forment pas un groupe 

 spécial. 



Etant donné un groupe spécial, il existe toujours une fonction 

 rationnelle, qui n'admet que des pôles du premier ordre, apparte- 

 nant tous à ce groupe. Il suffît évidemment de supposer v<</>-l- 1 . 

 Si V =p, /? > I , on a un groupe de/? points sur une même courbe 

 adjoinle de degré m — 3; le nombre o- est au moins égal à un et 

 V — p _|_ 0- -h I est au moins égal à deux. Donc la fonction ration- 

 nelle existe. De même, si l'on a un groupe spécial de moins de 

 p points, le nombre o- est égal k p — v -h /i, h étant un nombre 

 entier positif, et le nombre v — p -h o- -{- i est égal à /^ -j- i , qui 

 est au moins égal à deux. Les fonctions rationnelles ainsi obtenues 

 s'appellent des fonctions spéciales. 



Inversement, si une fonction rationnelle admet moins de p -\- i 

 pôles, tous du premier ordre, ces pôles forment un groupe spé- 

 cial. En effet, si cette fonction admet/? pôles simples, le nombre o- 

 doit au moins être égal à l'unité, et, par suite, ces p points doivent 

 être situés sur une même courbe adjointe de degré m — 3. Si la 

 fonction admettait v pôles simples (v<C/?) ne formant pas un 

 groupe spécial, on aurait o- =p — v, et la fonction rationnelle dé- 

 pendrait de V — P -^{p — v)+[ = i paramètre arbitraire; or, 

 nous avons remarqué que cette fonction n'existe que si le nombre 

 des paramètres dont elle dépend est au moins égal à deux. 



171. On doit à MM. Brill et Nother une loi de réciprocité re- 

 marquable, relative au cas où o- n'est pas nul. Prenons les ip — 2 

 points d'intersection de la courbe donnée avec une courbe adjointe 

 d'ordre m — 3, et partageons ces points en deux groupes Gv, Tv', 

 composés respectivement de v et de v' points (v -f- v'= ip — 2). 

 Soit 0- le nombre des courbes adjointes linéairement indépendantes 

 d'ordre m — 3 qui passent par les points du groupe Gv, et a-' le 

 nombre analogue relatif à Fv'. Soit encore /(^, z/)= o l'équa- 

 tion de la courbe adjointe d'ordre m — 3 qui passe par Gv et Fv', 

 et cp(^, i^)=r o l'équation générale des courbes adjointes d'ordre 

 m — 3 qui passent par Gv; cp(^, u) est une fonction linéaire et 

 homogène de o- constantes arbitraires. La fonctioa rationnelle 



■ V/' ^ est infinie du premier ordre aux v' points de Fv' seulement 



