FONCTIONS UNIFORMES SUR UNE SURFACE DE RIEMANN. 38l 



(ou en quelques-uns de ces points) et dépend de t paramètres ar- 

 bitraires. On a donc, d'après le théorème général de Riemann- 

 Roch, 



v' p -I- C7'+ I^CJ, 



égalité qui subsiste alors même que t serait égal à un; en inter- 

 vertissant les deux groupes de points daas le raisonnement, on 

 voit de même que l'on a 



En ajoutant ces deux inégalités membre à membre, il vient 



V -+- v' — 2/> -h 2 ^ () ; 



or V + v' = 2/? — 2, et, par conséquent, le signe ^ doit être 

 exclu des relations précédentes. Il reste donc les deux égalités 



v' p -h j'+ I =: (T, 



V — p -\- a -h I = a', 

 qui se réduisent d'ailleurs à une seule 



v' — v = 2(cr — a); 

 c'est la loi de réciprocité de Brill et Nother. 



172. On peut se proposer de former explicitement l'expression 

 de la fonction rationnelle la plus générale ne devenant infinie du 

 premier ordre qu'en v points donnés (a,, ^,), ..., (av, ,3v) ou 

 en quelques-uns de ces points. Lorsque ces v points forment 

 un groupe spécial G;, la solution est contenue implicitement 

 dans le paragraphe précédent. Ces v points sont situés sur une 

 courbe adjointe C/;j_3, qui rencontre encore la courbe donnée 

 en v' points formant un groupe F,/. L'équation générale des 

 courbes adjointes d'ordre m — 3 passant par les v' points de Fv , 

 dépend, nous venons de le voir, de v — yo -h t -h i paramètres ar- 

 bitraires. Soit o(^, w) = G cette équation générale et/(-:?, u) =o 

 l'équation de la courbe particulière G/„_3 qui passe par les points 



de Gv et de F,/. La fonction rationnelle ^^^ — - dépend de 



V — p -;- a -T- I 



