382 CHAPITRE VIII. 



constantes et ne devient infinie du premier ordre qu'aux points 

 donnés; c'est l'expression générale demandée. 



On voit, d'après cela, que toute fonction spéciale R(^, u) se pré- 

 sente sous forme du quotient de deux polynômes adjoints d'ordre 

 t^ — 3. \oici une autre démonstration très simple de ce résultat, 

 qui est due à M. Klein. Étant donnés v points formant un groupe 

 spécial, soit Q = o l'équation d'une courbe adjointe d'ordre 

 m — 3 passant par ces v points et R(^, u) une fonction spéciale ne 

 devenant infinie du premier ordre qu'aux v points considérés. 



L'intégrale / -^7- dz reste finie aux v points de ce groupe, puisque 



la courbe Q = o passe par ces points; elle est finie également 

 pour les points à l'infini, car la fraction R(s, u) reste finie en ces 

 points, et le polynôme Q est du degré m — 3. Cette intégrale est 

 donc une intégrale de première espèce, et, par suite, le produit 

 QR est égal à un autre polynôme adjoint Q, d'ordre m — 3. 



Supposons, en second lieu, que les v pôles donnés ne forment 

 pas un groupe spécial; le nombre v est plus grand que /?, et les v 

 points ne sont pas situés sur une courbe adjointe d'ordre m — 3. 

 Nous supposerons, pour plus de netteté, que la courbe considérée 

 n'a que des points doubles ordinaires. Choisissons pour tji un 

 nombre entier satisfaisant aux inégalités 



[j. > m, [JL m > 2 <i 4- V, 



et formons l'équation d'une courbe de degré ijl passant par les d 

 points doubles de Cet par les v points donnés (a,, [^<), .. . ^ (av, ^v). 

 Cette courbe Cj^ rencontre la courbe donnée en 



A" = ^xm — id — V 



autres points (a), p]). L'équation générale des courbes de degré [jl, 

 C|l, passant par les d points doubles de C et les k points (a-, (3;) 

 dépendra de 



h = — ~+- r — ut. /?! -f- c/ + V 



2 ' 



paramètres. Soit 



(p(^, w) = o 



l'équation générale des courbes Cji, et 



