FONCTIONS UNIFORMES SUR UNE SURFACE DE RIEMANN. 383 



l'équation de la courbe parliciilière Cj^; la fonction rationnelle 



n'admet pour pôles que les points donnés ou quelques-uns d'entre 

 eux; car elle conserve une valeur finie pour les points doubles et 

 les k points (a-, [3]). 



Cette fonction rationnelle paraît contenir un nombre de con- 

 stantes arbitraires supérieur à celui qu'indique la théorie. Pour 

 expliquer ce paradoxe, remarquons qu'on ne diminue pas la gé- 

 néralité en remplaçant cp(^, u) par 



Oi(z, u) =o(z, u) — 6{z, u)F(z, II), 

 '^(z, u) étant un polynôme arbitraire de degré jjl — 7n. 



On 1 ([J- — ^^)(l''- — m -^ 3) fn • • 1/ 



n peut proiiter des H- i coeilicients indé- 

 terminés dont dépend ^(^, u) pour attribuer une valeur déter- 

 minée à un pareil nombre de coefficients de 'f((^, u). Il restera 

 dans ce polynôme 



jjiffjL-t- 3) (ijL — m)((jL — m -h 3) 



2 2 



(m — i)(fyi — 2) 

 — \x m H- — ^ — p-T-v = v — p -T-i 



coefficients arbitraires, comme l'indique la théorie. 



Remarque. — Le cas oii quelques-uns des pôles seraient 

 d'ordre supérieur au premier est toujours à considérer comme 

 cas limite et se traiterait de la même façon. Au lieu de prendre 

 des courbes adjointes passant par les v pôles donnés, on aurait, 

 d'une façon plus générale, à prendre des courbes adjointes ayant 

 avec la courbe donnée, en des points donnés, des contacts d'un 

 certain ordre. 



La même méthode permet d'obtenir explicitement une fonction 

 rationnelle dont on connaît les pôles avec les parties principales 

 correspondantes. Si l'on a formé l'expression générale des fonc- 

 tions rationnelles admettant les pôles donnés, cette expression 

 contient un certain nombre de constantes arbitraires. En écrivant 

 que les coefficients des parties principales ont des valeurs don- 



