384 CHAPITRE VIII. 



nées, on a un certain nombre d'équations linéaires permettant 

 de déterminer ces constantes. On opérerait de la même façon 

 pour obtenir une fonction rationnelle, dont on suppose connus à 

 l'avance les pôles et les zéros. 



173. Toute fonction rationnelle R(3, u) admettant v pôles 

 simples se présente, d'après ce qui précède, sous la forme sui- 

 vante 



(d(z-, u) et f{z^ u) étant deux polynômes du même degré*, tous 

 les points communs aux deux courbes F = o, /= o, sauf les v 

 pôles donnés, appartiennent aussi à la courbe 'f = o. Il suit de 

 là que le faisceau de courbes 



rencontre la courbe donnée en v points seulement variables avec X, 

 ce groupe de v points venant se confondre avec le groupe des v 

 pôles pour X = o. Inversement, d'un faisceau de courbes rencon- 

 trant la courbe donnée en pi points variables seulement, on déduit 

 une fonction rationnelle devenant infinie du premier ordre en ^ 

 points seulement. 



On a vu qu'il n'existait pas de fonction rationnelle admettant 

 moins de p -\~ i pôles simples, si ces pôles sont pris arbitraire- 

 ment. Par conséquent, s'il existe un faisceau de courbes rencon- 

 trant la courbe donnée en v points variables seulement, l'un de 

 ces groupes de v points pouvant être choisi arbitrairement, v est 

 au moins égal à/>-f-i. Nous retrouvons une proposition déjà 

 établie directement (n" 139). 



174. Soit F(z, u) = o l'équation d'une courbe de genre supé- 

 rieur à zéro; il ne peut exister pour cette courbe de fonction ration- 

 nelle de z et de u, admettant un seul pôle du premier ordre. En 

 effet, s'il existait une pareille fonction ç ^-^z c^(^z, u), k toute valeur 

 de ^ correspondrait un seul point analytique (z^ u) et les coor- 

 données d'un point de la courbe considérée seraient des fonctions 

 rationnelles du paramètre p. Ceci prouve, soit dit en passant, que 



