FONCTIONS UNIFORMES SIR UNE SURFACE DE RIEMANN. 385 



les courbes adjointes d'ordre m — 3 n'ont, en dehors des points 

 multiples, aucun "point fixe commun avec la courbe. En effet, si 

 l'on avait pour un point (a, j^) de cette courbe 



Qi(a,3) = Q2(a,P)=... = Q„(a,3) = o, 



l'intégrale normale de seconde espèce Z(:;, u\ a, [3) aurait toutes 

 ses périodes nulles; elle serait donc égale à une fonction ration- 

 nelle de ^ et de u^ ayant un seul pôle du premier ordre. 



Il suit de là que, pour une courbe donnée, le nombre des pôles 

 d'une fonction rationnelle (tous ces pôles étant supposés du pre- 

 mier ordre) ne peut descendre au-dessous d'un certain minimum. 

 Ce nombre minimum r, qui se conserve évidemment dans toute 

 transformation birationnelle, paraît devoir jouer un rôle impor- 

 tant dans la théorie des courbes algébriques. On peut encore 

 (n*^ 173) le définir comme le nombre minimum de points d'inter- 

 section variables de la courbe donnée avec les courbes d'un fais- 

 ceau. Le nombre r se présente aussi quand on cherche, parmi les 

 différentes relations algébriques de même classe qu'une relation 

 donnée^ celle qui est du plus petit degré possible par rapport à 

 une des variables. Soit 



(6) *(Z, U) = o 



une équation algébrique se déduisant de la relation F (-3, u) =i o, 

 au mojen des formules de transformation 



(7) z=/(^, u), u=o(^, iO; 



chacune des fonctions /(^, w), cp(^, u) admet au moins r infinis, 

 et, par conséquent (n° 119), la relation (6) est au moins du 

 degré r par rapport à chacune des variables. 



Inversement, supposons que la fonction rationnelle/ (::, u) 

 ait /• pôles du premier ordre (a(, j3,), . . ., (a,., ^3^); prenons pour 

 '-p(-3, u) une fonction rationnelle ayant un seul pôle du premier 

 ordre commun avec/(;:;, u), par exemple le point (a,, p, ). Les 

 formules (7) définissent bien une transformation birationnelle, 

 car la courbe transformée (6) a une direction asymptotique 

 non parallèle aux axes de coordonnées; au point à l'infini dans 

 cette direction ne correspond qu'un point unique de la courbe 



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