386 CHAPITRE VIII. 



primitive, le point (a,, [3,). D'ailleurs, la nouvelle équalion(6) 

 est bien de degré r par rapport à U. 



Examinons les cas les plus simples. Si/? = i, il existe toujours 

 une fonction rationnelle admettant deux pôles simples, pris d'une 

 façon arbitraire; donc r=zi. Si p = 2, on a encore /• = 2 ; en 

 effet, soient Qi et Q^ deux polynômes adjoints distincts d'ordre 



m — 3. Le quotient ~ n'admet que deux pôles du premier ordre. 



D'une manière générale, lorsque p est supérieur à un, /• est au 

 plus égal à p; car, si l'on considère deux courbes adjointes 

 d'ordre m — 3, Qi =1 o, Q2 = o, ayant, avec la courbe proposée, 

 p — 1 points communs en dehors des points doubles, le quotient 



^ a au plus/? pôles du premier ordre. Lorsque p est plus grand 

 Se 2 



que 3, on peut encore trouver pour r une limite inférieure, comme 

 on le verra plus loin. Mais, pour /? = 3, on peut avoir r = 2, ou 

 r = 3. 11 est facile de donner des exemples des deux cas. Ainsi, 

 une courbe du cinquième degré avec un point triple est du genre 3 

 (n^l29); une droite passant par le point triple rencontre la 

 courbe en deux points variables seulement, 7'= 2. Une courbe 

 du quatrième degré sans point double est encore du genre 3, 

 mais ici on a /" = 3. En effet, s'il y avait une fonction rationnelle 

 admettant seulement deux pôles du premier ordre (a, P), (a', (B'), 

 on devrait avoir pour ce groupe de deux points o- = 2 , c'est-à-dire 

 qu'ily aurait une infinité de courbes adjointes d'ordre m — 3 passant 

 parées deux points; or ces courbes adjointes sont des lignes droites. 



175. Après ces généralités, considérons en particulier les 

 courbes algébriques pour lesquelles ?^=2. Soient (a,,^,) et 

 (a2, P2) les deux pôles du premier ordre d'une fonction ration- 

 nelle R(5, u), qui n'admet pas d'autres pôles que ces deux-là. Ces 

 deux points (ai, p< ) et (ao, po) doivent former un groupe spécial, 

 c'est-à-dire que les deux équations 



XiQi(ai, Pi)+...+ X^Qy,(ai, Pi) =0, 

 XiQi(a2, ^z) ■+-... -^-IpQpi^i, P2) = o 



doivent se réduire à une seule. On a donc 



Qi(«2;pO ^ ^ Qp(«2, P2) . 



