FONCTIONS UNIFORMES SUR UNE SURFACE DE RIEMANN. 887 



en langage géométrique, cela signifie que toutes les courbes ad- 

 jointes d'ordre m — 3 qui passent par le point (a,, j^, ) vont 

 passer par un second point fixe (ao, ^o)- Or, le point (a, , J5,) peut 

 être pris arbitrairement, puisque c'est un des deux points d'inter- 

 section variables de la courbe donnée avec les courbes d'un fais- 

 ceau. Les courbes considérées jouissent donc de la propriété sui- 

 vante : 



Toutes les courbes adjointes d^ordre m — 3 qui passent par 

 un point quelconque de la courbe donnée vont passer par 

 un second point fixe de cette courbe (*). 



Inversement, si une courbe C possède cette propriété, prenons, 

 sur C, /? — 2 points fixes arbitraires. Les courbes adjointes d'ordre 

 m — 3 qui passent par ces/? — 2 points fixes vont passer par 

 p — 2 autres points fixes de G; le faisceau de ces courbes ren- 

 contre donc la courbe G en deux points variables seulement. Soit 



(8) /-À?-o 



l'équation de ce faisceau; les coordonnées des deux points d'in- 

 tersection variables s'obtiennent par la résolution d'une équation 

 du second degré dont les coefficients sont rationnels en \. On a 

 donc, pour les coordonnées d'un point de G, les expressions sui- 

 vantes 



( ^^A-Bv/RÔ"), 

 (9) 



( w= G-i-D v/R(X), 



R()v) étant un polynôme premier avec sa dérivée et A, B, G, D 

 des fonctions rationnelles de \. Inversement, des formules (8\ 

 et (9) on tire, pour ). et y/R(l), des fonctions rationnelles de z et 

 de u^ de sorte que la relation algébrique considérée peut être ra- 

 menée, par une transformation birationnelle, à la relation hyper- 

 elliptique 



(10) ^2 = R(X). 



(') Toutes les courbes adjointes d'ordre m — 3 passant par un point donné 

 (a, P) ne peuvent passer par plus d'un autre point fixe de G, en dehors des 

 points doubles. Autrement, une courbe adjointe d'ordre m—Z, qui serait assu- 

 jettie à passer par /> — i points de G aurait plus de "ip — 2 points communs avec 

 C, en dehors des points doubles. 



