388 CHAPITRE VIII. 



Par extension, on appelle courbes hyper elliptiques toutes les 

 courbes pour lesquelles /' := 2. 



Les points d'une courbe hjperelliptique se correspondent deux 

 à deux par une transformation birationnelle. Si l'on considère, en 

 effet, deux points (a<, ^i), (as, [^0) formant un groupe spécial, il 

 est clair que les coordonnées du point (ao, po) sont des fonctions 

 rationnelles des coordonnées du point (a,, ^s) et inversement. 

 Donc,/>ot^r une courbe hyperelliptique quelconque, il existe 

 une transformation birationnelle involutive qui change cette 

 courbe en elle-même. Mais cette propriété n'est nullement carac- 

 téristique. Elle appartient évidemment à toute courbe possédant 

 un axe ou un centre de symétrie, par exemple à une courbe du 

 quatrième degré ayant un axe de symétrie. Or, si cette courbe 

 n'a pas de point double, elle n'est jamais de l'espèce hyperellip- 

 tique (n« 174). 



On emploie quelquefois, pour l'étude des relations algébriques 

 hyperelliptiques, une autre forme normale que celle qui nous a 

 servi dans les premiers Chapitres. L'équation d'une courbe hyper- 

 elliptique ayant été ramenée, par une transformation birationnelle, 

 à la forme 



(II) i.'2 = P(^)Q(^), 



où P(^) et Q(^) sont deux polynômes sans facteur commun, ni 

 facteur multiple, le premier de degré /> + i ou/> 4- 2, le second 

 de degré /?, la transformation birationnelle 



z = z, ii = u'q{z') 



conduit à une nouvelle courbe de degré p -i- 2 



(12) u^q{z') = Fiz'), 



qui présente un point multiple d'ordre p à l'infini sur l'axe Ou' ; 

 les tangentes en ce point multiple sont toutes distinctes et cha- 

 cune d'elles est une tangente d'inflexion. Inversement, toute 

 courbe de degré /? H- 2 possédant un seul point multiple d'ordre/? 

 à tangentes distinctes est une courbe hyperelliptique de genre /?, 



