FONCTIONS UNIFORMES SUR UNE SURFACE DE RIE3IANN. 389 



car un pareil point singulier équivaut à^-^ points doubles 



ordinaires, et l'on a 



1 -i 



d'ailleurs, une droite passant par le point multiple rencontre la 

 courbe en deux points variables seulement. Donc, à toute courbe 

 de Vespèce hyperelliptique^ de genre /?, on peut faire corres- 

 pondre, par une transformation birationnelle, une courbe de 

 degré p-\-i avec un point multiple d'ordre p à tangentes 

 distinctes. 



Les courbes adjointes d'ordre m — 3 sont ici des courbes de 

 degré p — i ayant un point multiple d'ordre /? — i • Elles se dé- 

 composent donc en un système de /> — i lignes droites passant 

 par le point multiple. Il est évident géométriquement que toute 

 courbe adjointe passant par un point fixe de la courbe va passer 

 par un second point fixe. 



176. Comme appbcation, proposons-nous d'appliquer à une 

 courbe de cette espèce le théorème de Riemann-Roch, c'est-à-dire 

 de chercher l'expression générale d'une fonction rationnelle de 

 (;;, u) qui devient infinie du premier ordre en v points simples 

 (a,, 3,), ...,(av, ^v)- Soit C la courbe considérée de degré 

 p-h 2, O le point multiple d'ordre p. On a deux cas à consi- 

 dérer : 



I" Parmi les v points donnés, il n'y en a pas deux en ligne droite 

 avec le point O. Ces v points ne forment pas un groupe spécial; 

 pour qu'il existe une fonction rationnelle répondant à la question, 

 il faut que v soit au moins égal à /? -f i, et le nombre des para- 

 mètres dont dépend cette fonction est égal à v— />-h i. Nous 

 avons traité ce problème sous une autre forme au Chapitre I. 



2° Les V points donnés se partagent en deux groupes de 2 jj. 

 points et de p points respectivement. Les 2 a points du premier 

 groupe (a,, ^,), • - • Ah^ M'A<^?.)^ ...,(a^, .3^) sont deux 

 à deux en ligne droite avec le point O. 11 en est ainsi des points 

 (a/, '^i) et (a;, (3;). Parmi les p points (v,, 8,), ..., (yp, Op) du 

 second groupe, il n'y en pas deux en ligne droite avec le point O. 



