390 CHAPITRE VIII. 



On peut former une fonction rationnelle de {z, u) n'admettant 

 que les deux infinis simples (a/, j^/), (a;, [3,); soit fi{z^ u) une pa- 

 reille fonction qui [sera, par exemple, une fraction simple telle 

 que 



si l'équation de la courbe hjperellip tique est de la forme (12). 

 Soit $(^, u) une fonction rationnelle n'admettant que les 2|jl4- p 

 pôles du premier ordre (a^-, (3,), (a;, j^;), (y^, ^a); on peut toujours 

 trouver des coefficients constants X), Xo, • • -, ^a tels que la diffé- 

 rence 



^{z, u) — Xi/i {z, u)—.. .— l^f^iz, u) 



reste finie aux points (a^, ^\), ..., (ol'^, |3y. Cette différence se ré- 

 duit donc à une fonction rationnelle W{z, u) infinie du premier 

 ordre aux [X 4- p points (a^, (3^, ..., (^fx, Pp.), (y,, 0,), ..., (yp, Op) 

 seulement. Nous sommes donc ramenés au cas précédent. 



Bemarque. — Si l'on a [i. -f- p </? -1- i , il n'existe pas de 

 fonction rationnelle '^(z, u) n'admettant que les ui + p pôles du 

 premier ordre (a^, p^), ..., (a^,, j3[,), (y,, S^ ), ..., (yp, 8p), et, par 

 conséquent, la fonction rationnelle ^(z, u) a pour expression 

 générale 



^{z, u) = 'kif,{z,u)-\-...-i~'k^f^(z, u)-h-l^+i. 



On voit qu'elle n'admet pour pôles du premier ordre que 

 quelques-uns des 2[a-1- p points donnés; on remarquera toutefois 

 que le nombre des paramètres dont dépend cette fonction est bien 

 égal au nombre donné par la formule de Riemann-Roch ; on a, en 

 effet, dans ce cas particulier, 



et, par suite, 



2;jH-p — /? + a+i = {jL-l-t. 



177. Etant données deux courbes liyperelliptiques du même 

 genre /?]^i, on peut se proposer de rechercher les conditions 

 nécessaires et suffisantes pour que ces deux courbes appartiennent 

 à la même classe, c'est-à-dire pour qu'on puisse passer de l'une à 



