FONCTIONS UNIFORMES SUR UNE SURFACE DE RIEMANN. 891 



Taulre par une transformation birationnelle. Soit G une courbe 

 hyperelliptique; supposons que l'on ait exprimé de deux façons 

 différentes les coordonnées d'un point de cette courbe au moyen 

 d'un paramètre et de la racine carrée d'un polynôme, de telle 

 façon qu'à un point corresponde une seule valeur du paramètre. 

 On aura à la fois 



(i3) z = \ -i-B ^Rijj, Il = C -^ D \/R{Ï), X = cp(2, m) 



et 



(i4) ^ = Ai^-Biv/Ri((Jt), 11 = Ci^Div/Ri({x), ii=oi{z,u), 



A, B, G, D étant des fonctions rationnelles de )., A,, B,, G,, D, 

 des fonctions rationnelles de ;jl, R()0 ^^ ^^W ^^"^ polynômes 

 de degré 2/> + i ou 2/? -h 2. Gherchons la relation qui existe 

 entre les valeurs des paramètres A et it. qui correspondent à un 

 même point de cette courbe. Remarquons pour cela qu'à une va- 

 leur de l=z'j(z^ II) correspondent deux points seulement; la 

 fonction rationnelle cp(;, w), ayant deux infinis seulement, est une 

 fonction spéciale, qui peut se mettre sous la forme suivante 



Q, et Qo étant deux polynômes adjoints d'ordre m — 3 (n'' 172). 

 De même a = 6{z^ u) est égale à 



Q3 et Q4 étant aussi deux polynômes adjoints d'ordre m — 3. 

 Soient (a, '^) et (a', 3') deux points correspondant à une même 



valeur \q de \ ; la fonction rationnelle ^_^^ n admet que les deux 



pôles du premier ordre (a, ^) et (a', ^'). Ges points sont donc 

 deux points associés de la courbe, c'est-à-dire que toute courbe 

 adjointe d'ordre m — 3 qui passe par un de ces points passe aussi 

 par le second. On a, en particulier, 



Q3(a',?')-Q3(a,P)' 



