392 CHAPITRE VIII. 



et, par suite, [j. reprend la même valeur en ces deux points. Ainsi 

 à une valeur de 1 correspond une seule valeur de {Ji; il est clair 

 que la réciproque est vraie, pour la même raison. On a donc entre 

 ). et [i. une relation homographique 



aliJ. -\- bX -h ciJ.-{- d = o, 



et l'on passe des formules (i3) aux formules (i4) par la substitu- 

 tion linéaire 



(.5) X: 



Or, après cette substitution, les invariants absolus de la forme 

 binaire X;^^-Rf — j sont les mêmes que ceux de la forme binaire 



La réponse à la question posée est maintenant bien facile. 

 Etant données deux courbes b^/perelliptiques de même genre G, 

 G', supposons les coordonnées d'un point de G exprimées en 

 fonctions rationnelles de À et de v/R(>Ô7 ^e façon qu'à un point 

 ne corresponde qu'une valeur de À^ supposons de même les coor- 

 données d'un point de G' exprimées par des fonctions rationnelles 

 de [i. et de sjKi (u.), de façon qu'à un point de C^ ne corresponde 

 qu'une valeur de [j.. Pour que les deux courbes G et G' appartien- 

 nent à la même classe, il est nécessaire, d'après ce qui précède, 

 que les invariants absolus des deux formes 



Xp^2r/M, ^^P+2R /!^\ 



soient les mêmes. 



Ges conditions nécessaires sont suffisantes. En effet, on peut 

 remplacer les courbes G et G' par les courbes 



P2=: R(X), Çp2 = Ri(fJL), 



qui correspondent respectivement aux deux courbes G, G'. Si les 

 invariants absolus sont égaux, on peut trouver une substitution 

 linéaire telle que l'on ait 



R 



aii+b\ k^ 



cii-hd/ {c\i -^ dy^P+^ 



Ri(!^) 



