FONCTIONS UNIFORMES SUR UNE SURFACE DE RIEMANN. SgS 



on passe alors de la première courbe à la seconde par la transfor- 

 mation 



1 = 



{C'j.-\- d)P- 



qui est évidemment birationnelle. 



Une forme binaire de degré ip -\- i possède ip — i invariants 

 absolus; il y a donc ip — i conditions pour que deux Courbes 

 hyperelliptiques de genre/? appartiennent à la même classe. On 

 exprime ceci en disant qu'une classe de courbes hyperellip- 

 tiques de genre p possède ip — i modules. 



Il résulte aussi du raisonnement précédent que, si une courbe 

 hyperelliptique se change en elle-même par une transformation 

 birationnelle, le paramètre X subit une substitution linéaire 



l!— aX-h_6 j^ faudra donc que les racines du polynôme R ( a) 



ck-hd ^ 



s'échangent entre elles au moyen de la substitution précédente; 

 il est clair qu'il n'existe jamais qu'un nombre fini de substitutions 

 jouissant de cette propriété. 



178. La même méthode ne s'applique plus lorsque/» = i . 

 Soient G et C deux courbes du premier genre; supposons-les 

 ramenées à ia forme normale 



R(a) et R» (;jl) étant deux polynômes du quatrième degré. Si ces 

 deux courbes se correspondent point par point d'une façon uni- 

 voque, la relation algébrique entre les valeurs de 1 et de a, qui 

 donnent deux points correspondants sur les deux courbes, est 

 évidemment du second degré par rapport à chacune des va- 

 riables, 



X2(A a2 + B a H- G) + X(Ai [Jl2 -f- Bi a -4- Ci) +. A, a^ h- Bo [x + C, = c 



Pour que les deux valeurs de 1 qui correspondent à une même 

 valeur de a soient égales, il faut que les deux points de (/ que 

 fournit cette valeur de ;jl viennent se confondre, c'est-à-dire que ;j. 

 vérifie l'équation R, (;jl) = 0. On a donc 



Ri ( Ht) = (Al IX'- H- Bi IX + Cl )2 — 4 ( A ;a2 + B jx + G) (A, u^ + B, -x -4- G, ), 



