FONCTIONS UNIFORMES SUR UNE SURFACE DE RIEMANN. SgS 



plus de points singuliers ; c'est donc une intégrale de première 



espèce 



Xi w'i + . . . -h Xj3 Wp + Xp+i 



et l'on en déduit 



(i6) Riz,u) = Ce 





tPi, w.2j . . • , iVp étant les intégrales normales. 



Lorsque le chemin décrit par le point analytique (r, u) traverse 

 une des coupures, le second membre est multiplié par un certain 

 facteur. Gomme le premier membre est une fonction uniforme, il 

 nous faut écrire que tous ces multiplicateurs se réduisent à l'unité. 

 Quand on traverse une coupure «a, la fonction qui figure en expo- 

 sant augmente de iràXh-, et le second membre est multiplié par 

 eStVAx-. X,^ ),2, . . . , )vA doivent par conséquent être des nombres 



entiers 



Xi = 7?ii, . . . , li = nii, ... , Xp = r7ip, 



et R(-3, u) est de la forme 



7 (a,, p.) 



(17) K(z,u) = Ce -^ *^'^'' 



Lorsque la variable traverse la coupure ^a, R(^5 '^) est multi- 

 plié par 



e '-* 



Il faudra donc que l'on ait 



<? ç 



(i8) ^ Wk(oi'i, P/) — 2 w/,(oii, P/) = 1 m^ÙAi +. -.-^impbkp H- 2/iaî- 



(A- = i,2,... ,73), 



rik étant un autre nombre entier. Dans les premiers membres de 

 ces relations, les intégrales Wh sont toujours supposées prises sui- 

 vant des chemins qui ne rencontrent pas les coupures. Récipro- 

 quement, si l'on peut trouver des nombres entiers 7?2,, . . . , nip^ 

 n^^....^np vérifiant les relations précédentes (18), la fraction 

 R(^, u) représentée par la formule (17) présente bien tous les 

 caractères d'une fonction rationnelle admettant les q pôles (a , ^\) 

 et les q zéros (a^-, p/). Les relations (18) expriment donc les con- 



