396 CHAPITRE VIII. 



ditions nécessaires et suffisantes pour qu'il existe une fonction 

 rationnelle admettant les q pôles et les q zéros donnés. 



Ces relations peuvent s'écrire sous une forme plus générale. 

 Soit w une intégrale quelconque de première espèce et to, , 

 0J2, . . . , too^ ses ip périodes ; il faudra que l'on ait 



q ■ n 



^ (v (<•, p;-) — ^ w(a,-, ^i) = Ml Wi + M2 0)2 + . . . 4- MapW,;, , 



Ml, M2, . . . , Mo^ étant des nombres entiers, qui sont les mêmes 

 pour toutes les intégrales, les chemins suivis par la variable res- 

 tant aussi les mêmes pour les intégrales qui figurent dans le pre- 

 mier membre. On écrit ces relations sous une forme plus con- 

 densée 



^ q 



(ï9) ^^{<.%)^'^^v{^.i,^i). 



i-i i-i 



Par conséquent, la somme des valeurs d'une intégrale abé- 

 lienne de première espèce pour les zéros dUine fonction 

 rationnelle ne diffère de la somme des valeurs de la même 

 intégrale pour les pôles que d'une somme de multiples des 

 périodes. 



C'est, comme on le verra plus loin, une des formes qu'on peut 

 donner à un cas particulier du théorème d'Abel. 



Les conditions précédentes sont au nombre de p ; elles expri- 

 ment d'ailleurs toutes les relations entre les zéros et les infinis 

 d'une fonction rationnelle, puisque, si elles sont vérifiées, on 

 peut former une fonction rationnelle admettant les zéros et les 

 infinis donnés. Ces relations se présentent sous une forme trans- 

 cendante, quoiqu'elles soient en réalité algébriques. Imaginons, 

 en effet, qu'on ait formé l'expression générale des fonctions ra- 

 tionnelles qui admettent les q pôles (a^-, |3'^.); cette expression est 

 une fonction linéaire et homogène d'un certain nombre de coeffi- 

 cients arbitraires. Il faudra qu'on puisse disposer de ces coeffi- 

 cients de façon que la fonction admette les q zéros (a/, ^i) ; 

 ces conditions s'expriment évidemment par des relations algé- 

 briques entre les iq points donnés. On a là un exemple remar- 



