FONCTIONS UNIFORMES SUR UNE SURFACE DE RIEMANN. 897 



quable de relations transcendantes équivalentes à des relations 

 algébriques. Si p = o, le théorème ne nous donne rien. On peut 

 prendre arbitrairement les zéros et les infinis. Il est facile de le 

 vérifier, car z et a s'expriment par des fonctions rationnelles 

 d'un paramètre t^ et on est conduit à former une fonction ration- 

 nelle de t, connaissant ses pôles et ses zéros. Si /> = i, on a une 

 seule relation entre les zéros et les infinis. Cette relation est 

 d'ailleurs équivalente au théorème de Liouville sur les zéros et 

 les infinis d'une fonction doublement périodique. 



180. Les théorèmes généraux sur les fonctions uniformes d'une 

 variable s'étendent aux fonctions uniformes d'un point analy- 

 tique (*). Nous allons montrer comment on peut former l'expres- 

 sion générale d'une fonction uniforme n'ayant qu'un nombre fini 

 de points singuliers sur toute la surface de Riemann. Pour plus 

 de simplicité, supposons que ces points singuliers sont à distance 

 finie et distincts des points de ramification. Soient (a,, j^,), . . ., 

 {^n, P«) les n points singuliers, ^{z, u) la fonction uniforme con- 

 sidérée et 



z — ti ' {z—cci-y- . .-. . ^._^.^.j 



la partie principale de ^{z--, u) relative au point singulier (a/, ^/), 

 cette partie principale étant formée d'une série si le point (a/, ^i) 

 est un point singulier essentiel. La fonction 



considérée comme fonction du point (?, r^), admet les points sin- 

 guliers (a,, ^,), ..., (a«, [3„), {z^ u),{zo^Uo) et, en outre, les points 

 de ramification. Ecrivons que la somme des résidus de cette fonc- 

 tion uniforme sur toute la surface de Riemann est nulle. Les 

 résidus relatifs aux points de ramification et aux points à l'infini 

 sont tous nuls. Les résidus relatifs aux points {z^ u) et (zq, Uq) 



(') Appell, Sur les /onctions uni/ormes d'un point analytique {Acta ma- 

 thematica, t. I, p. 109-144)- 



