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CHAPITRE IX. 



THÉORÈME D'ABEL (i). 



Théorème général. — Application aux intégrales de première, de seconde et de 

 troisième espèce. — Formule générale. — Application aux intégrales hyper- 

 elliptiques. — Seconde démonstration. — Réduction d'une somme d'un nombre 

 quelconque d'intégrales k p intégrales et à des quantités algébriques et loga- 

 rithmiques. — Théorème d'addition pour les intégrales de première espèce. — 

 Intégration d'un système d'équations différentielles. — Extension du théorème 

 d'Abel aux courbes gauches algébriques. 



181. On a déjà remarqué, dans certains Chapitres antérieurs, 

 un cas particulier de la célèbre proposition, connue sous le nom 

 de théorème d'Abel. L'illustre géomètre l'a énoncée dans un 

 Mémoire présenté à l'Académie des Sciences de Paris en 1826, 

 qui a pour titre : Remarques sur quelques propriétés générales 

 d'une classe de fonctions transcendantes. 



Pour l'établir ici dans toute sa généralité, considérons une 

 fonction rationnelle quelconque cp(^, u) de z et de u, et une inté- 

 grale abélienne U attachée à la courbe 



(0 ¥{z,u) = o, 



de degré m et de genre p. L'intégrale 



I' 



prise dans le sens direct le long du contour total de la surface T', 

 c'est-à-dire le long des coupures a^, by, Cv, est égale à une somme 



(*) Auteurs à consulter : k.^e.Y.i., Remarques sur quelques propriétés générales 

 d'une classe de fonctions transcendantes; Démonstration d'une propriété gé- 

 nérale d'une certaine classe de fonctions transcendantes; Clebsch et Gordan, 

 Abelsche Functionen, zweiter Abschnitt. 



