THÉORÈME d'ABEL. 4oI 



de produits de deux facteurs, l'un des facteurs étant une période 

 de l'intégrale U, le second facteur une période de l'intégrale loges. 

 Mais toutes les périodes de cette dernière intégrale sont évidem- 

 ment des multiples de itù^ et l'on a 



(2) / \J dlo^o = 'î-i{my(ji^-^ nioiii^-^. . .->r niipiM^ip), 



w,, too, ..., ^2p étant les ip périodes de l'intégrale U relatives aux 

 coupures «v et ^v^ et m,, /??2, ..., m2p des nombres entiers, 

 qui ne dépendent que de la Jonction rationnelle '^(^, u). Le 

 produit irùm^^ par exemple, est égal à l'intégrale 



/ 



c?logcp, 



prise le long de la coupure a^^ et les autres nombres mi ont une 



signification analogue. 



Nous supposerons d'abord que l'intégrale abélienne U n'a pas 

 de points critiques logarithmiques; alors la fonction 



est uniforme sur la surface T', et Ton peut appliquer le théorème 

 de Cauchj à l'intégrale (2). D'après ce théorème, l'intégrale (2) est 



égale au produit de ir.i par la somme des résidus de U ^^ ' sur 



toute la surface de Riemann. Ces résidus proviennent des pôles 

 de U ou des pôles et des zéros de '^(^, u). Soient 



les zéros de la fonction rationnelle cp(3, u) et 



ses infinis, chacun d'eux étant compté autant de fois qu'il 3- a 

 d'unités dans son degré de multiplicité. La somme des résidus 

 provenant des pôles et des zéros de 'j(;, u) est égale à 



7 n 



D=2u(^,-,rw-)-2^'(;A-,U.). 

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