THÉORÈME d'aBEL. 4o3 



La somme des valeurs d' une intégrale ahélienne de pre- 

 mière espèce aux points dHntersection de la courbe donnée G 

 avec une autre courbe algébrique G' est égale, à des multiples 

 près des périodes, à la somme des valeurs de la même intégrale 

 aux points d^ intersection de G avec une autre courbe G", de 

 même degré que C. 



Les restrictions que nous avons faites sur les points d'intersec- 

 tion ne sont d'ailleurs nullement nécessaires. Par exemple, sup- 

 posons qu'en un point (H,r,) à distance finie ou à l'infini, la courbe 

 donnée F =r o ait q points communs confondus avec la courbe 

 f= o et q' points communs confondus avec à =z o. Si, pour plus 

 de simplicité, nous admettons que les valeurs de u qui deviennent 

 égales à t, pour z=^\ forment un seul système circulaire, le point 

 (^, Tj) ne sera ni un pôle ni un zéro pour '^{z, u) si q^^q'\ ce 

 sera un pôle d'ordre q^ — q si q^ est > ^, un zéro d'ordre 

 q — q\ si q est > q^ (n° 99). Dans tous les cas, on peut suppo- 

 ser que, dans l'égalité qui exprime le théorème sous sa première 

 forme, le terme (V"(ç, r, ) figure q fois au premier membre et q' fois 

 au second membre. On aura donc, d'une part, la somme des va- 

 leurs de l'intégrale w aux points de rencontre de F = o avec 

 /= o, chacun d'eux étant compté avec son degré de multiplicité; 

 d'autre part, la somme analogue relative aux points d'intersec- 

 tion de F = o avec 6 = o. De là résulte la généralité du second 

 énoncé. 



Tant qu'on ne fait aucune hypothèse sur les chemins suivis par 

 la variable, il est clair qu'on ne peut obtenir une proposition 

 plus précise. Mais on peut aller plus loin. Gonsidérons une pre- 

 mière courbe/(^, ?/) = o, de degré /i, qui coupe la courbe F = o 

 en mn points que nous supposerons distincts, pour fixer les idées, 

 (E,, 7,,), ..., {^mni 'hmn)'-, imaginons ensuite que les coefficients de 

 /(^j w) varient d'une manière continue depuis leurs valeurs ini- 

 tiales. Les mn points d'intersection de G avec la seconde courbe 

 décrivent sur T certaines lignes continues à partir des valeurs ini- 

 tiales. Gela posé, la somme des accroissements dUine intégrale 

 de première espèce le long des lignes continues décrites par 

 les points (ç/, r,,) est rigoureusement nulle. 



Il suffit évidemment de le démontrer pour une variation infi- 



