4o4 CHAPITRE IX. 



niment petite des coefficients de f{z^ u). La nouvelle courbe 

 aura une équation de la forme 



^{z,u)=f{z, u) + zfi{z,u), 



£ étant un nombre très petit ei/iÇz, u) un polynôme de même 

 degré que /(^, u). Supposons que les coupures a^, by, Cy aient 

 été tracées de façon à ne pas rencontrer les lignes décrites par les 

 points (Ç/, 'r\i), ce qui est toujours possible si ces lignes sont suf- 

 fisamment petites. D'après la proposition générale, la différence 



jnn mn 



j = 1 i = 1 



est égale à la somme 



les produits tels que iizinik représentant les périodes de Tinté- 



grale abélienne 



logcp(^, M)=l0g 



f{Z, U) 



relatives aux coupures a^, by. Or il est aisé de voir que ces pé- 

 riodes sont toutes nulles. Par exemple, la période relative à la 

 coupure a^^ est égale à l'intégrale 



Jib 



-^1 



'(6,) i + 'Xi-'^) 

 OÙ l'on a posé 



^^- ^^^ - 7(^770 



Supposons, ce qui est évidemment permis, le module de '/(-?, n) 

 plus petit que l'unité tout le long de la coupure ^v- Si l'on désigne 

 par l la longueur de cette coupure, le module de l'intégrale est 



moindre que _ ; comme cette période doit être un multiple de 



2Tzi, on en conclut qu'elle est rigoureusement nulle. 



Ainsi, si Von considère les points cV intersection dUine courbe 

 fixe G avec une courbe variable de degré /z, la somme des 

 valeurs continues d\tne intégrale abélienne de première 



