THÉORÈME d'aBEL. 4o5 



espèce, attachée à la courbe G, aux points d^ Intersection va- 

 riables reste constante. 



Le théorème subsiste évidemment si quelques-uns des points 

 d'intersection vont à l'infini ou viennent aux points de ramifica- 

 tion. Lorsque la courbe mobile passe par un certain nombre de 

 points fixes de la courbe donnée, on peut en faire abstraction 

 dans l'application du théorème. 



183. Supposons, en second lieu, que l'intégrale U soit une inté- 

 grale de seconde espèce, admettant un seul pôle du premier ordre 

 (a, 6) en un point à distance finie et distinct des points de rami- 

 fication, avec la partie principale 



le résida de la fonction U Jl ' ■•> au point (a, 6), est égal à 



. ^'(a.b) . ,/ 7\ j' • 1 1 j I j' • ' do(z,u) 

 A , ' , ou C5 a, o) desiofue la valeur de la dérivée — —j 



pour z^= a, u ^ b, et il reste 



1 = 1 A- = l 



Si l'on pose, comme plus haut, '3(z, u) = \ "' , ^ où f el à 



sont des polynômes de même degré en z et u, on a 



o'(a, b) _ f'(a, b) _ ^'( a, b) 

 ^{a,b) ~ f{a,b) ^{a,b)' 



Les points (;/, ru) sont les points d'intersection de la courbe 

 f[Zj u) = o avec la courbe donnée F = o; les points (ç^, Ti^.) les 

 points d'intersection de tj^ = o avec F = o. Un cas particulier 

 remarquable est le cas où, parmi les courbes du faisceau 



il s'en trouve une qui coupe la courbe F ^= o en deux points 

 confondus au point {a, b). Alors, pour une certaine valeur de la 

 constante \, on a 



/(a, 6) H- X ^{a, b) = o, f{a, 6) + X 6'(a, b) = o, 



