4o6 CHAPITRE IX. 



d'où, en éliminant "k. on voit que la quantité ^ ^' , , est nulle. 



On peut alors énoncer le théorème suivant, utile dans les applica- 

 tions géométriques : Soit U une intégrale de deuxième espèce 

 avec un pôle simple (a, b) ; si l'on coupe la courbe F := o par 

 deux courbes de même degré /= o et '^ = o, telles que, parmi 

 les courbes du faisceau /+ Xt{> =: o, il s'en trouve une tangente 

 à F au point (a, 6), la somme des valeurs de U aux points d'in- 

 tersection de F et de / est égale à la somme des valeurs de U aux 

 points d'intersection de F et de o. 



184. Si le point (a, b) est un point de ramification, ou s'en va 

 à l'infini, ou si ce pôle est d'un ordre supérieur au premier, les 

 résidus de la fonction 



dz 



ont une expression moins simple. Mais, quels que soient l'ordre 

 et la position du pôle sur la surface, si la fonction rationnelle 

 cp(^, u) dépend d'un certain nombre de coefficients arbitraires c,, 

 C2, . . ., Cq, dont elle estune fonction rationnelle, le résidu relatif 

 au pôle (a, b) est toujours égal à une fonction rationnelle de 

 ces coefficients indéterminés Ci, Co, ..., c^. Il en sera encore de 

 même pour la somme des résidus, si l'intégrale abélienne U admet 

 un nombre quelconque de pôles, sans admettre aucun point cri- 

 tique logarithmique. Pour plus de précision, supposons 



, - P(z, u) 



P et Q désignant deux polynômes entiers en u et z, dont nous dé- 

 signerons les coefficients par Ci, Co, ..., Cq. Le théorème d'Abel 

 nous montre que la différence entre la somme des valeurs de 

 V intégrale abélienne U pour les zéros de la fonction ration- 

 nelle cp(^, u) et la somme des valeurs de la même intégrale 

 pour les pôles de cp(^, u) est égale à une fonction rationnelle 

 des coefficients Ci, ..., Cq des deux polynômes P et Q, abstrac- 

 tion faite d^une somme de multiples de périodes de l'inté- 

 grale U. 



