THÉORÈME d'aBEL. ^OJ 



Cette fonction rationnelle des coefficients c,, Co, ..., Cq peut 

 toujours être calculée dès qu'on connaît les pôles de U et les par- 

 ties principales correspondantes. Pour donner à l'énoncé précé- 

 dent une forme géométrique, il suffit de répéter ce qui a été fait 

 pour les intégrales de première espèce. Soit/(^, ui) = o l'équa- 

 tion d'une courbe de degré n qui rencontre la courbe donnée en 

 77Z/2 points (i,, 7),), ..., (5;,^;^, T,„,,i); imaginons que les coefficients 

 de/(Zf ?^) varient d'une manière continue; les points (ç,, r,,), ..., 

 (?TO/^7 '^.m«) se déplacent sur la surface T d'une manière continue. 

 Soient ( i; , r/, ),..., (?;,„, <,„) les nouvelles positions de ces points 

 d'intersection, correspondant à une autre courbe '}(-S, m) = o 

 de même degré. Cela posé, on a 



(8) y / du=v, 



V désignant une fonction rationnelle des coefficients des deux po- 

 Ijnomes/et 6, et les intégrales étant prises suivant les chemins 

 décrits par les points (i/, r,/), lorsque les coefficients du poly- 

 nôme/ varient d'une manière continue depuis les valeurs initiales 

 jusqu'à devenir égaux aux coefficients du polynôme 'l. 



Supposons donnés tous les coefficients du polynôme /, les 

 coefficients de 6 restant variables, l'égalité (8) peut s'écrire 



(9) y/ ^'=2/ ^u-^.. 



La première partie du second membre reste constante; par 

 conséquent, la somme des valeurs d' une intégrale abélienneV, 

 n'admettant aucun point critique logarithmique, prises depuis 

 une origine commune (zq^ Uq) Jusqu'aux: mn points d'intersec- 

 tion de la courbe donnée avec une courbe variable de degré n^ 

 h(^z^ u) = Oj est égale à une constante C, augmentée d'une 

 fonction rationnelle des coefficients du polynôme ^{z, u). 



Rien n'empêche d'ailleurs de supposer que ces mn intégrales 

 ont des limites inférieures différentes, pourvu qu'elles soient fixes, 

 ce qui revient à modifier la constante C. 



