40^ CHAPITRE IX. 



185. Lorsque l'intégrale U admet des points critiques logarith- 

 miques, la fonction 



dz 



n'est plus uniforme sur la surface T^ et le raisonnement doit être 

 modifié. Pour plus de netteté, supposons que U se réduise à une 

 intégrale de troisième espèce avec les deux points critiques loga- 

 rithmiques {a, b) et (^1, b^). Il faudra joindre aux coupures a^, 

 ^v, Cv une nouvelle coupure L joignant ces deux points critiques 

 et ne rencontrant pas les précédentes. Sur la nouvelle surface P' 



la fonction sous le signe / est uniforme et l'on peut lui appliquer 



le théorème de Cauchj; l'intégrale 



/ 



U<r/logcp(z, u), 



prise le long des coupures <2v, 6v, Cv, a la même expression que 

 plus haut. Quant à l'intégrale prise le long des deux bords oppo- 

 sés de la coupure L dans le sens direct, elle a pour valeur 



(n" 149) 



Il vient, par conséquent, l'égalité suivante 



A— 1 



qui constitue le théorème d'Abel dans le cas des intégrales de 

 troisième espèce. 



De cette formule on déduit, en répétant les raisonnements déjà 

 employés pour les intégrales de première et de seconde espèce, 

 les conséquences suivantes : 



i"" Soient/(^, u) = o^ 'K-^'^O = oies équations de deux courbes 

 de degré n. On a 



mn , 



