THÉORÈME d'à BEL. 409 



les points d'intersection de F = o avec les deux courbes /= o, 

 <!/ = o étant représentés respectivement par ( Ç/, ri/) , {l[^ r,^) 

 (i = I, 2, . . . , m/i), et les chemins d'intégration étant fixés 

 comme il a été déjà expliqué. On remarquera que la fonction sous 

 le siffne logr est une fonction rationnelle des coefficients des deux 

 polynômes y* et 'l. Par exemple, si les deux points singuliers lo- 

 garithmiques de l'intégrale II sont les deux points analytiques 

 superposés en un point double dans des feuillets différents de 

 la surface de Riemann (p. 201), on a a = «i, b = bf^ et le loga- 

 rithme du second membre est nul; la somme des intégrales (11) 

 est alors nulle à des multiples de périodes près. 



Il en est de même dans le cas plus général où il existe une 

 courbe du faisceau /{z, u) -\- )v6(3, u) = o passant par les deux 

 points (a, b) et («i, 6,). En effet, on a alors, pour une certaine 

 valeur de X, 



/(«, b) -h ma, b) = o, /(«i, bi) + l'l(ai, b^) = o, 



d'où 



f(a,b)i>(a,.bi) 



J\ai,b0à[a,b) 



I. 



2° Soit U une intégrale abélienne quelconque, elf=o, 6 = 

 les équations de deux courbes de degré n, qui coupent respecti- 

 vement aux mn points (^oT,/) et (?,, loi) la courbe proposée. On 

 a une relation de la forme 



?nn 



(12) > / cOJ = p + Al logPi-4-.. . -{- A,.Iogp,.H-C, 



A, , A2, . . . , Ar étant des constantes, et p, ^1,^2? • • • 5 ^r des fonc- 

 tions rationnelles des coefficients des deux polynômes fei ^. Il 

 suffit, pour établir cette formule, de décomposer U en intégrales 

 des trois espèces. 



3** Si la courbe/est fixe et la courbe 6 variable, la formule (12) 

 devient 



(i3) y r''"'''' dTJ = G4-P4-AilogPi+... + A;,log^v, 



G désignant une constante. Par conséquent, là somme des valeurs 



