4lO CHAPITRE IX. 



d'une intégrale abélienne quelconque U, prises depuis une 

 origine commune (zq^ Uq) jusqu'aux mn points d'intersection 

 de la courbe donnée avec une courbe variable de degré n^ 

 <j;(z, z/) = o, est égale à une fonction rationnelle des coeffi- 

 cients de h^ augmentée d'une somme d'un nombre fini de loga 

 rithmes de fonctions rationnelles des mêmes coefficients, muU 

 tipliés par des facteurs constants. 



On peut remarquer, comme plus haut, qu'il n'est pas néces- 

 saire de prendre la même limite inférieure pour toutes les inté- 

 grales. 



186. Tel est, dans le cas le plus général, le théorème d'Abel. 

 Pour les applications, il est commode d'avoir une formule géné- 

 rale s'appliquant à tous les cas particuliers. Désignons toujours 

 par cp(5, u) une fonction rationnelle de z et de u dont les zéros et 

 les infinis sont respectivement 



(^n^i'i)j •••, (^ij -^'-z), 

 et par 



R(z, u) dz 



"-Il 



une intégrale abélienne quelconque. Imaginons qu'on trace un 

 contour fermé C sur T^, ce contour renfermant à son intérieur 

 tous les points singuliers de l'intégrale U et laissant à l'extérieur 

 tous les pôles et tous les zéros de cp(5, u) ; soit T" la surface con- 

 nexe ainsi obtenue; l'intégrale 



/ U«^logcp, 



prise dans le sens direct le long du contour total de T'^^ est égale, 

 d'une part, à 





d'autre part, la portion d'intégrale prise le long des coupures «vj 

 6v, Cv a pour valeur 



27ri(miWi-+- . . .-h m2pW2/;). 



