THÉORÈME d'ABEL. 4^1 



Il reste à calculer la portion d'intégrale prise le long du contour C. 

 Or. on a 



(i4) d{lj logcp) = l]d\ogo -+- B.{z, u) logçc?^; 



lorsque le point (3, u) décrit le contour G, le produit Ulogo 

 revient à sa valeur initiale, puisque ce contourne renferme aucun 

 point critique de logcp et renferme tous ceux de l'intégrale U. Il 

 vient donc 



f Udlo§o=— f R{z,u)log'^dz. 



A l'intérieur du contour C, la nouvelle fonction R(^j z/) logcp 

 est uniforme et on peut lui appliquer le théorème de Cauchy. On 

 a par conséquent, en remarquant que, si l'on décrit G de façon à 

 avoir l'aire T'^ à sa gauche, on a l'aire intérieure à droite, 



1 n 



(l5) 2 U(^,, r^) - ^ U(^i., r:,) = C[R(^, u) logcp], 



le second membre désignant la somme des résidus du produit 

 R(^, z/)log'j relatifs à tous les points singuliers de l'intégrale 

 abélienne U. 



Remarque. — Dans l'application de cette formule, il faut ima- 

 giner trac3 le contour G, et choisir une des valeurs multiples de 

 loges (::, II) pour un point intérieur; les valeurs de ce logarithme 

 pour tous les points singuliers de U s'en déduisent par continuité. 

 Pour avoir un énoncé géométrique applicable aux points d'in- 

 tersection d'une courbe variable avec la courbe fixe, nous procé- 

 derons comme plus haut, en prenant pour cp le quotient de deux 



polvnomes de deo^ré /z, c = "^ . "' ^\ • Les notations étant les mêmes, 



la formule (i5) devient 



mn y, 



Pour n'avoir aucune ambiguïté dans l'application de cette for- 

 mule, il faut imaginer les coefficients d'une courbe variable de 

 degré n variant d'une manière continue, depuis les valeurs qui 



