4l2 CHAPITRE IX. 



conviennent à la courbe f(z, u) = o jusqu'aux valeurs qu'ils ont 

 pour la courbe cp(^, w) = o; les intégrales du premier membre 

 sont prises suivant les chemins décrits par les points mobiles d'in- 

 tersection, et, si le second membre présente des logarithmes, on 

 déterminera les valeurs qu'il faut leur attribuer en suivant leur 

 variation continue en même temps que celle des coefficients 

 variables. 



Supposons en particulier que les deux courbes /= o, ^ ^= o 

 fassent partie d'un faisceau de courbes de degré ii 



^{z, u) = &(z, u) -hl Qi{z, u), 



et imaginons que, 'Kq restant fixe, X seulement soit variable. De la 

 formule qui donne I 



on déduit 



dl 



= c\k(z,u)—-^\, 



il est clair, en effet, que la dérivée d'un résidu par rapport au pa- 

 ramètre X est égal au résidu de la dérivée par rapport à X. On a 

 par conséquent 



(.7) i=r£[R(.,„)_^j^X, 



le signe €. s'étendant à tous les points singuliers de l'intégrale 

 considérée (^ ). 



On peut remarquer que ©< et sont deux courbes quelconques 

 du faisceau f -{-"k^ = o. Supposons que f et ^ ne passent pas 

 par les pôles de U, mais que, dans le faisceau /+ l^J; = o, il s'en 

 trouve une, que nous appellerons ©i , qui passe par tous les infinis 

 de R(^, u) d'ordre supérieur à l'unité, de telle façon que le pro- 

 duit R(^, w)0| n'ait plus que des infinis d'ordre inférieur à 



l'unité. Alors les résidus de R(^, u) ■- ^--- sont nuls, quel que 



soit X, et l'on a I = o. Donc, dans ce cas particulier, la somme 



(') On trouvera d'intéressantes applications de cette formule dans un Mémoire 

 de M. Humbert {Journal de Mathématiques, 4* série). 



