THEOREME D ABEL. 4l3 



' dU, prises depuis les points de rencontre 



de F avec la courbe /= o jusqu'aux points de rencontre de F 

 avec ^ = o, est nulle à des multiples de périodes près. C'est la 

 généralisation des remarques du n° 18o. 



187. Appliquons laformule générale (i5) aux intégrales hvper- 

 elliptiques. Soit 



(i8) u^- = K{z) 



une relation algébrique, où R(2) est un polynôme de degré ^p -\- i 

 ou 2/? + 2, sans facteurs multiples, et 



(19) v{z,u)= / — T-^^» 



une intégrale abélienne correspondante, P(^) étant un polynôme 

 entier en z. Considérons les iji points d'intersection de la courbe 

 (18) avec la courbe 



6(z) — w8i(s) = o, 



où B et 9, sont des polynômes entiers en z. Soient (^i, W|), ..., 

 {^•\ii i^ii) ces [JL points; z^^ So, .. ., ^tx sont racines de l'équation 



r-{z)-K{z)n{z) = o. 



Désignons par r^(z) et par r^i{z) deux autres polynômes de 

 même degré respectivement que 8 et 9,, et soient (z\^ u\)^ . . ., 

 (-^0.7 ^^a) les a points de rencontre de la courbe (18) avec la 



courbe 



T^{z) — ur^^{z) = o. 



La fonction rationnelle 



^{z)—u^,{z) 



^iz,u) 



r^{z) — ur,i{z) 



admet les a zéros (5/, iii) et les ix pôles (s), u\), et, si Ton suppose 

 que les polynômes 9, 9,, tj, Tj, sont les plus généraux de leur 

 degré, les points à l'infini de la surface ne sont ni des pôles ni des 

 zéros pour 'j(:;, u). Remarquons maintenant que l'intégrale ç{z, u) 



