4ï4 CHAPITRE IX. 



est régulière en tout point à distance finie; la formule (i5) nous 

 donne donc 



(20) ^^(^i, w/)— ^(^(^;-, ii'i)^c^ -^iogcp(s, 



u): 



mais la somme de ces résidus n'est autre chose que le coefficient 

 de - dans le développement de 



dans le domaine du point à l'infini. Si l'on regarde maintenant les 

 coefficients des polynômes r,, Tj, comme constants, les coefficients 

 de 0, 9i restant seuls variables, il vient 



(21) v{zx, u^)-^...^v{z^, u^) = G + r, 



G étant une constante et r le coefficient de - dans le développe- 

 ment de 



On vérifiera sans peine que cette formule est identique à la 

 formule (29) [théorème III] du Mémoire cité d'Abel. 



Dans le domaine d'un point à l'infini de la surface de Riemann, 

 le logarithme d'une fonction rationnelle de z et de u est de la 



forme q\o^z-^V l^j ou de la forme ^log^+pZ-^V suivant 



que ce point à l'infini est un point ordinaire ou un point de ra- 

 mification, P(^) désignant une fonction régulière pour ^ = o. Si 

 l'intégrale considérée est de première espèce, le développement 



de —^ commence par un terme en -^ ou en ^; il n'y a donc pas 



z^ 



de terme en -^ dans le produit —^ log { l~''^^A et, par suite, 



r = o. C'est le théorème connu pour les intégrales de première 

 espèce. 



188. Il est intéressant de remarquer que /* peut être nul ou 

 indépendant des coefficients variables, pour certaines formes par- 



