4*6 CHAPITRE IX. 



La somme 



(^(^1, Ml) H- ^(^2, M2) +• • .+ t^C-Ssp, Wap) 



reste constante, lorsque les coefficients A et B varient d'une ma- 

 nière quelconque, quoique l'intégrale (^(s, u) ne soit pas de pre- 

 mière espèce (*). 



Les autres énoncés que renferme le Mémoire d'Abel se dédui- 

 raient de même de la formule générale (i5). Par exemple, en 

 considérant l'intégrale 



J (5— a)/R(7) 



" 



et en conservant les mêmes notations, on a 



/ X ^ / ^ r P(«) 1 re(a)-f-BOi(a)-] 



OU 



p2=:R(a) 



et où r est le résidu de 



pour le point à l'infini. 



189. Nous allons donner une seconde démonstration du théo- 

 rème d'Abel, d'un caractère plus élémentaire, et qui montre encore 

 mieux la véritable origine de cette importante proposition. Elle 

 est d'ailleurs identique à la démonstration donnée par Abel lui- 

 même pour le cas le plus général d'une relation algébrique de 

 forme quelconque. 



Soit 



(22) F(^, u) = o 



l'équation d'une courbe algébrique quelconque G de degré m, et soit 



R(^, u)dz 

 (-0, "«) 



(*) On trouvera dans l'Ouvrage de M. Darboux, Leçons sur la théorie géné- 

 rale des sur/aces, t. II, p. 3ii, une application intéressante de cette remarque. 



