THÉORÈME d'aBEL. 417 



une intégrale abélienne quelconque attachée à cette courbe. Une 

 courbe G' de degré n 



(23) *(z, m) = o, 



dont l'équation renferme un certain nombre de coefficients varia- 

 bles «, , a.2, . .. , «A, rencontre la courbe G en mn points variables 

 avec ces coefficients (^, , z/,), (^o, ^^2),. . •,(-to«, «w«). La somme 

 des valeurs de l'intégrale abélienne ç{zju), où l'on prend suc- 

 cessivement chacun de ces points d'intersection pour limite su- 

 périeure 



I = v{zi,ui) 



'"" (-■ 7/1 



est une fonction des paramètres ai,ao, . . . , ak-, dont nous allons 

 chercher la forme analytique. 



Désignons d'une manière générale par oV la différentielle to- 

 tale d'une fonction V par rapport aux paramètres a,, «2î • • • , «a- 

 On a 



ol = ^R(^/, Ui)oZi. 



Des équations (22) et (23) on tire 



d¥ ^ d¥ ^ 



—- hzi-\- -—- ùUi = o, 

 dzi dui ' 



- — OZi -r- -— OUi -h 0<Pj = O, 



ozi aiii 



et par suite 



OZi = 0^i^\Zi, Ui), 



^ {ziy Ui) étant une fonction rationnelle de (^/, ui) et des coeffi- 

 cients ai, a.2^ . . . , rt/f, et O/ désignant <ï>(^i, Ui). En remplaçant ozi 

 par cette valeur dans ol, il vient 



:i=^R(zi,Ui)W{zi,iii)o^i. 



Si 1 on développe o^^ = _ — oa, -j- . . . -r ^^ — oa^-, le coedicient 

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