4l8 CHAPITRE IX. 



de oa^, par exemple, dans le second membre, est égal à 

 fil fi 



c'est-à-dire à une fonction rationnelle et symétrique des coordon- 

 nées des mn points (^,, Ui ), (^o, 1^-2), - - -, {^mn, Unui)^ fonction qui 

 est en même temps rationnelle par rapport aux coefficients a,, 

 «2, ..-, ak' Or, toute fonction rationnelle et symétrique des 

 coordonnées des 7??/i points communs aux deux courbes (22) et 

 (28) est égale à une fonction rationnelle des coefficients des deux 

 équations. Il reste donc en définitive 



ol = Ilioai -h 112 0^2 H-. . .+ U/cOak, 



Ui, IIo, . . . , Il/f étant des fonctions rationnelles des k coefficients 

 a<,«2^ '-"iCik-i ne renfermant plus les coordonnées des points 

 (^/, Ui). Par conséquent 



1= / Ilioai -I- n2oa2 -h. . .-T- n/,0(2/,. ; 



/"- 



or, les fonctions IIi, ITo, . • . , 11^ étant rationnelles, l'intégration 

 ne peut introduire d'autres transcendantes que des logarithmes. 

 La somme I est donc égale à une fonction rationnelle des coef- 

 ficients a^^a-.j • . . , ah, augmentée d'une somme de logarithmes 

 de fonctions rationnelles des mêmes coefficients. 



Si l'intégrale abélienne considérée est de première espèce, la 

 somme I doit être constante. En effet, si les fonctions IIi , IIo, . . . , 

 IIa n'étaient pas identiquement nulles, on pourrait trouver un 

 système de valeurs a'^, a'^, - - -.a,, pour les coefficients a^^^a^^ . . . , 

 «A, tel que I deviendrait infini pour a^ ^= a\^ . . . ^ ak^= a'^. Si les 

 points de rencontre de la courbe G avec la courbe varia])le (7, qui 

 répond aux valeurs a\, . . . , a]^ des paramètres, sont {z'^, u[), .... 

 i^'mm^'mn)^ il y aurait au moins une des valeurs de i^(z, u) qui 

 deviendrait infinie lorsque le point {z^u) tendrait vers un des 

 ^o\uls{z\^u\)\ ce qui est impossible, puisque l'intégrale est de 

 première espèce. 



190. Si l'intégrale abélienne considérée est quelconque, il est 

 facile de montrer que l'on retrouve les mêmes formules finales 



