THÉORÈME d'aBEL. 419 



que par la première méthode. Pour plus de simplicité, supposons 

 que ç{z, u) soit une intégrale de seconde espèce avec un pôle 

 simple (i, r^) à distance finie, distinct des points de ramification, 

 le résidu étant égal à i . Etant données deux courbes du même 

 degré /z, représentées respectivement par les deux équations 



(24) f{z.,u) = o, o{z,u) = o, 



si l'on considère le faisceau de courbes 



<25) f{z,u)^\fi{z,u) = o, 



où 



fi(z, u) = o(z, u) —f{z, u), 



les deux courbes appartiennent à ce faisceau et correspondent aux 

 valeurs zéro et un du paramètre A. D'après ce que nous venons 



de démontrer, la dérivée -^ est une fonction rationnelle du para- 

 mètre A. D'autre part, la somme I conserve une valeur finie, sauf 

 pour la valeur A, du paramètre A, telle que l'un des J7in points 

 d'intersection soit venu au point (;, r,), c'est-à-dire pour la valeur 



Pour fixer les idées, supposons que, pour )v= A,, un seul des 

 points d'intersection vienne au point (^,Tj). Dans le domaine du 

 point (ç, r,) on a 



A étant un coefficient diff'érent de zéro qui a pour valeur 



d¥ ( df d/,\ d¥ ( df à/A 



A _ -. 



lnversement_, dans le voisinage de a = A, , on a 



^-^ = ^(X-X,)[i-Bi(X-XO + ...]- 

 L'intégrale v{xi^ j>'/), correspondant au point {xt^ yt) qui vient 



I 



