THÉORÈME d'à BEL. 4^1 



191. Après ces généralités, nous allons considérer en particu- 

 lier le cas des intégrales hyperelliptiques. Soit 



(27) ir~=R{z) 



une relation hjperelliptique de genre /?, et cp(^) une fonction ra- 

 tionnelle quelconque de z. Si l'on veut considérer le système des 

 points de rencontre de la courbe (27) avec une autre courbe 

 algébrique quelconque /{z, m), on peut supposer qu'on a rem- 

 placé, dans/(^, u), une puissance paire de u, telle que a-^, par 

 [R(^)]^ et une puissance impaire de u, telle que 11-^+^, par 

 [R(^)]^w, ce qui revient à prendre pour équation de la seconde 

 courbe une équation du premier degré en u, 



P(z) 



P{z) et Q(::) étant des polynômes de degré m. Les abscisses des 

 points de rencontre des deux courbes (27) et (28) sont données 

 par l'équation 



(-29) P2(^)_Q2(2)R(2)=0, 



de degré 2m-i-2/> — i ou 2^-7- 2/^ 4- 2, suivant que R(^) est de 

 degré 2/? -7- i ou 2/? -h 2. Soit q le degré de cette équation, Zt, 

 z., ..., Zq ses q racines, et lu, u.^ .... Uq les valeurs correspon- 

 dantes de M, 



_ P(^/) 



Posons toujours 



'^ --'-'"^'0(^)^2 



et désignons par la lettre S la différentielle totale prise par rap- 

 port aux coefficients variables des polynômes P(:;) et Q(-). 

 On a 



de l'équation 



^{zi) = PH-0 - QH^O R(-/) = o, 



