4^2 CHAPITRE IX. 



on lire 



^'{Zi)^Zi^O^{Zi)= o, 



c'est-à-dire en développant 0(];(^/), 



^'{zi)^Zi-^- iF{zi) SP,— 2Q(zO R(-3,-) oQ,-= o, 



et, par suite, 



Y 2_^_(^ Q,R(^,)ûQ,-P,5P , 

 ^ y{zi) Il 



Remplaçons au numérateur Qf R/ par P| et supprimons le fac- 

 teur commun P/, il reste 



(3o 



'•=2:?fe^^-^Q'-Q-'''-)- 



Si l'intégrale / ^ <i^ est de première espèce, ^(z) est un po- 

 lynôme de degré/? — i au plus: le coefficient d'une différentielle 

 quelconque telle que ùa/( au numérateur est un polynôme de degré 

 im-\-p — 1 au plus. On a donc comme coefficient de ^a^ une 

 somme telle que 



Z^^\Zi)' 



étendue à toutes les racines de l'équation ^{z) = o, ©(-s) étant 

 un polynôme de degré ini -^ p — i au plus ; le numérateur est 

 donc d'un degré inférieur de deux unités au moins au degré de 

 ^(^). D'après une propriété élémentaire bien connue, cette somme 

 est nulle. 



Remarquons ici que le degré de l'équation (29) peut s'abaisser 

 pour certaines valeurs particulières des coefficients des polynômes 

 P(5) et Q(^). Dans "ce cas, quelques-uns des points d'intersec- 

 tion des deux courbes qui sont variables avec les coefficients 

 doivent être considérés comme s'étant éloignés à l'infini. 



192. Nous allons nous occuper maintenant de quelques-unes 

 des applications les plus importantes du théorème d'Abel. Etant 

 donnée une courbe algébrique de genre /?, F (5, ii) = o, et une 



