THÉORÈME d'aBEL. ^23 



intégrale abélienne quelconque i>{z,u) attachée à cette courbe, 

 la somme des valeurs de cette intégrale en un nombre quel- 

 conque de points analytiques 



peut toujours se ramener ci la somme des valeurs de la même 

 intégrale en p points {z\, u\ ), ..., {z'^, u'^), se déduisant algé- 

 briquement des premiers, augmentée de quantités algébriques 

 et logarithmiques. 



Il suffît évidemment de démontrer la propriété lorsque 

 V- = P -^^' En effet, si la somme de /? 4- i intégrales se ramène 

 à la somme de/? intégrales, la somme de /» ^ 2 intégrales se ra- 

 mènera d'abord à la somme de /> 4- i intégrales, puis à la somme 

 de/) intégrales. En continuant de même, on voit que le résultat 

 sera général. Supposons donc qu'on ait la somme 



v{Zi, Mi)-f-(;(^2, "2) -^.. .^ v{zp. 



-il "-p+l)' 



D'après un résultat établi plus haut(n° 172), on peut toujours 

 trouver un faisceau de courbes (par exemple de courbes ad- 

 jointes d'ordre /?? — -2) rencontrant la courbe donnée en /? + i 

 points variables seulement, de telle sorte que pour l'une des 

 courbes du faisceau ces /? 4- i points variables soient précisément 

 les points donnés {z,, u,), ..., (zp^,, Up+i)- 



Soit 



l'équation de cette courbe particulière C du faisceau, 



(3'^) f{z, u)-r~lMz,in = o 



l'équation d'une courbe quelconque du faisceau. Les poljnomes 

 /(^5 '0^/< (-^5 ^0 ont leurs coefficients qui dépendent rationnelle- 

 ment des/? + I points donnés (^,, «^), . . ., (^^^, , ;/^^,). Dispo- 

 sons maintenant du paramètre A, de façon qu'une courbe du fais- 

 ceau passe par un point donné à l'avance (a, ^), par exemple, par 

 le point pris pour origine des intégrales. Cette courbe C" ren- 

 contre en outre la courbe donnée enp points (z\, u'j, ...,(z' , u ) 



